Latihan Soal Barisan dan Deret

📚 BANK SOAL BARISAN DAN DERET

Matematika SMA • Soal dan Pembahasan

📌 Petunjuk: Klik judul setiap soal untuk membuka soal dan pembahasannya.
1 Suku ke-12 Barisan Aritmatika
SOAL

Dalam sebuah barisan aritmatika, suku pertama adalah 3 dan beda \(b\) adalah 5. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut!

💡 Pembahasan

Suku pertama:

\[ a=3 \]

Beda:

\[ b=5 \]

Rumus suku ke-\(n\):

\[ U_n=a+(n-1)b \]

Substitusi \(n=12\):

\[ \begin{aligned} U_{12} &=3+(12-1)(5)\\ &=3+55\\ &=58 \end{aligned} \]
✅ Jadi, suku ke-12 dari barisan tersebut adalah \(58\).
2 Harga Buku
SOAL

Sebuah toko menjual buku dengan harga yang terus bertambah setiap harinya. Pada hari pertama, harga buku adalah Rp10.000, dan pada hari kedua, harga buku tersebut naik menjadi Rp12.000. Harga buku tersebut terus naik dengan selisih yang tetap setiap harinya. Berapakah harga buku pada hari ke-10?

💡 Pembahasan
\[ U_1=10.000 \]
\[ U_2=12.000 \]

Beda:

\[ \begin{aligned} b &=U_2-U_1\\ &=12.000-10.000\\ &=2.000 \end{aligned} \]

Rumus:

\[ U_n=a+(n-1)b \]

Untuk \(n=10\):

\[ \begin{aligned} U_{10} &=10.000+(10-1)(2.000)\\ &=10.000+18.000\\ &=28.000 \end{aligned} \]
✅ Harga buku pada hari ke-10 adalah Rp28.000.
3 Jumlah 15 Suku Pertama
SOAL

Dari barisan aritmatika berikut:

\[ 5,\;9,\;13,\;17,\ldots \]

Berapakah jumlah 15 suku pertama?

💡 Pembahasan
\[ a=5 \]
\[ b=9-5=4 \]

Rumus jumlah \(n\) suku pertama:

\[ S_n=\frac{n}{2} \left[2a+(n-1)b\right] \]

Untuk \(n=15\):

\[ \begin{aligned} S_{15} &=\frac{15}{2} [2(5)+(15-1)(4)]\\ &=\frac{15}{2}[10+56]\\ &=7,5(66)\\ &=495 \end{aligned} \]
✅ Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah \(495\).
4 Produksi Roti
SOAL

Sebuah toko roti memproduksi 50 buah roti pada hari pertama. Setiap hari berikutnya produksi ditambah 10 buah roti dari hari sebelumnya. Berapakah total akumulasi roti yang diproduksi toko tersebut selama 7 hari pertama?

💡 Pembahasan
\[ a=50 \]
\[ b=10 \]
\[ n=7 \]

Gunakan rumus:

\[ S_n= \frac{n}{2} \left[2a+(n-1)b\right] \]
\[ \begin{aligned} S_7 &=\frac{7}{2} [2(50)+(7-1)(10)]\\ &=\frac{7}{2}[100+60]\\ &=\frac{7}{2}(160)\\ &=560 \end{aligned} \]
✅ Total roti yang diproduksi selama 7 hari pertama adalah \(560\) buah.
5 Formasi Penari
SOAL

Dalam sebuah pagelaran tari kolosal, panitia merancang formasi penari berbentuk segitiga/trapesium terbuka. Baris pertama diisi oleh sejumlah penari, dan setiap baris di belakangnya selalu berisi lebih banyak penari dengan selisih tetap dibanding baris di depannya.

Diketahui jumlah penari pada baris ke-4 dan baris ke-8 jika digabungkan adalah 36 orang. Sementara itu, selisih jumlah penari antara baris ke-10 dan baris ke-2 adalah 24 orang.

💡 Pembahasan

Diketahui:

\[ U_4+U_8=36 \]
\[ (a+3b)+(a+7b)=36 \]
\[ 2a+10b=36 \tag{1} \]

Selanjutnya:

\[ U_{10}-U_2=24 \]
\[ a+9b-(a+b)=24 \]
\[ 8b=24 \]
\[ b=3 \]

Substitusi \(b=3\) ke persamaan (1):

\[ \begin{aligned} 2a+10(3)&=36\\ 2a+30&=36\\ 2a&=6\\ a&=3 \end{aligned} \]

Mencari \(U_{12}\):

\[ \begin{aligned} U_{12} &=a+11b\\ &=3+11(3)\\ &=3+33\\ &=36 \end{aligned} \]
✅ Jumlah penari pada baris ke-1 adalah \(3\) orang.
✅ Jumlah penari pada baris ke-12 adalah \(36\) orang.
6 Tabungan Bulanan
SOAL

Sebuah sekolah memiliki sistem penghargaan yang memberikan hadiah kepada murid yang menabung setiap bulan. Pada bulan pertama, murid menabung Rp50.000, dan pada bulan kedua, jumlah tabungan bertambah Rp10.000 setiap bulan. Jika murid menabung selama 6 bulan, berapakah total tabungannya pada akhir bulan ke-6?

💡 Pembahasan
\[ a=50.000 \]
\[ b=10.000 \]
\[ n=6 \]

Rumus jumlah 6 suku pertama:

\[ S_n= \frac{n}{2} \left[2a+(n-1)b\right] \]
\[ \begin{aligned} S_6 &=\frac{6}{2} [2(50.000)+(6-1)(10.000)]\\ &=3[100.000+50.000]\\ &=3(150.000)\\ &=450.000 \end{aligned} \]
✅ Hasil perhitungan menunjukkan total tabungan selama 6 bulan adalah Rp450.000.
7 Jumlah Suku ke-10 sampai ke-20
SOAL

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 10 dan beda 6. Berapakah jumlah suku ke-10 hingga ke-20 dari barisan tersebut?

💡 Pembahasan
\[ a=10 \]
\[ b=6 \]

Cari jumlah sampai suku ke-20, kemudian kurangi jumlah sampai suku ke-9.

\[ S_n= \frac{n}{2} [2a+(n-1)b] \]
\[ \begin{aligned} S_{20} &=\frac{20}{2} [2(10)+(20-1)(6)]\\ &=10[20+114]\\ &=10(134)\\ &=1340 \end{aligned} \]

Selanjutnya:

\[ \begin{aligned} S_9 &=\frac{9}{2} [2(10)+(9-1)(6)]\\ &=\frac{9}{2}[20+48]\\ &=\frac{9}{2}(68)\\ &=306 \end{aligned} \]

Jadi:

\[ \begin{aligned} S_{10-20} &=S_{20}-S_9\\ &=1340-306\\ &=1034 \end{aligned} \]
✅ Jumlah suku ke-10 hingga ke-20 adalah \(1034\).
8 Pertumbuhan Bakteri
SOAL

Suatu bakteri membelah diri menjadi dua dalam 3 detik. Banyak bakteri mula-mula 10 bakteri. Tentukan jumlah bakteri setelah 30 detik.

💡 Pembahasan

Banyak bakteri setiap 3 detik membentuk barisan geometri.

\[ a=10 \]
\[ r=2 \]

30 detik sama dengan 10 periode.

\[ 30=10\times3 \]

Rumus suku ke-\(n\):

\[ U_n=ar^{n-1} \]

Mengikuti bentuk perhitungan pada sumber:

\[ \begin{aligned} U_{10} &=20(2)^9\\ &=20(512)\\ &=10.240 \end{aligned} \]
✅ Berdasarkan pembahasan pada sumber, jumlah bakteri adalah \(10.240\) bakteri.
9 Rasio Barisan Geometri
SOAL

Suatu barisan geometri diketahui suku keempat dan keenam berturut-turut −54 dan −486. Tentukan rasio dari barisan geometri tersebut.

💡 Pembahasan
\[ U_4=-54 \]
\[ ar^3=-54 \]
\[ U_6=-486 \]
\[ ar^5=-486 \]

Bandingkan kedua persamaan:

\[ \frac{ar^5}{ar^3} = \frac{-486}{-54} \]
\[ r^2=9 \]
\[ r=3 \]
✅ Jadi, rasio barisan geometri adalah \(3\).
10 Diskon E-Commerce
SOAL

Sebuah platform e-commerce mengadakan promo kupon potongan harga secara berantai. Diskon tingkat pertama memberikan potongan Rp128.000, diskon tingkat kedua Rp64.000, diskon tingkat ketiga Rp32.000, dan seterusnya membentuk barisan geometri.

Pada potongan tingkat ke berapa nilai diskon yang diberikan tepat sebesar Rp1.000?

💡 Pembahasan
\[ a=128.000 \]
\[ r=\frac{1}{2} \]
\[ U_n=1.000 \]

Gunakan:

\[ U_n=ar^{n-1} \]
\[ 128.000 \left(\frac12\right)^{n-1} =1.000 \]
\[ \left(\frac12\right)^{n-1} = \frac{1.000}{128.000} \]
\[ \left(\frac12\right)^{n-1} = \frac1{128} \]
\[ \left(\frac12\right)^{n-1} = \left(\frac12\right)^7 \]
\[ n-1=7 \]
\[ n=8 \]
✅ Diskon tepat sebesar Rp1.000 diberikan pada tingkat ke-8.
11 Potongan Kawat
SOAL

Seorang pengrajin memotong kawat menjadi 6 bagian untuk membuat kerangka patung. Panjang keenam potongan kawat tersebut membentuk deret geometri. Potongan kawat terpendek adalah 5 cm dan potongan kawat terpanjang adalah 160 cm.

Berapa panjang kawat utuh yang dibutuhkan pengrajin sebelum dipotong?

💡 Pembahasan
\[ n=6 \]
\[ a=5 \]
\[ U_6=160 \]
\[ ar^5=160 \]
\[ 5r^5=160 \]
\[ r^5=32 \]
\[ r=2 \]

Jumlah deret geometri:

\[ S_n= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \]
\[ \begin{aligned} S_6 &=\frac{5(2^6-1)}{2-1}\\ &=5(64-1)\\ &=5(63)\\ &=315 \end{aligned} \]
✅ Panjang kawat utuh yang dibutuhkan adalah \(315\) cm.
12 Peluruhan Zat Radioaktif
SOAL

Suatu zat radioaktif meluruh sehingga massanya berkurang secara periodik. Pada interval waktu tertentu, total akumulasi massa zat yang telah meluruh mengikuti pola deret geometri.

Massa zat yang meluruh pada periode pertama adalah 80 gram, dan pada periode ke-3 adalah 20 gram. Berapa total keseluruhan massa zat radioaktif yang telah meluruh dari periode pertama hingga ke-5?

💡 Pembahasan
\[ a=80 \]
\[ U_3=20 \]
\[ ar^2=20 \]
\[ 80r^2=20 \]
\[ r^2=\frac14 \]
\[ r=\frac12 \]

Gunakan rumus jumlah deret geometri:

\[ S_n= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \]

Untuk 5 periode:

\[ S_5= \frac{80\left[1-\left(\frac12\right)^5\right]} {1-\frac12} \]
\[ \begin{aligned} S_5 &= \frac{80\left(1-\frac1{32}\right)} {\frac12}\\ &= \frac{80\left(\frac{31}{32}\right)} {\frac12}\\ &=155 \end{aligned} \]
✅ Total keseluruhan massa zat radioaktif yang telah meluruh dari periode pertama hingga periode ke-5 adalah \(155\) gram.
📘 Bank Soal Matematika SMA
Barisan dan Deret

Subscribe to: Posts (Atom)